Вопросы к экзамену
1. Метрическое пространство. Определение и свойства.
2. Различные метрики в Rn.
3. Метрики на пространстве непрерывных функций на отрезке.
4. Полное метрическое пространство - определение и свойства. Пополнение.
5. Компактность. Теоремы Вейерштрасса.
6. Функциональные пространства. Теорема Арцела - Асколи (без доказательства).
7. Функциональные пространства. Теорема Стоуна (без доказательства) и следствия из нее.
8. Гильбертовы пространства. Определение и свойства.
9. Пространство L2[a, b].
10. Системы векторов в гильбертовом пространстве. Линейная оболочка и ортогональное дополнение.
Ортонормированные системы и ортонормированные базисы.
11. Теорема Рисса.
12. Разложение по ортонормированной системе. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
13. Ортогонализация. Полиномы Лежандра.
14. Классической ряд Фурье.
15. Операторы в гильбертовых пространствах. Непрерывность и ограниченность.
16. Компактные операторы. Интегральные операторы.
17. Симметрические операторы. Теорема Гильберта - Шмидта (без доказательства).
18. Дифференциальные операторы. Область определения.
19. Краевые задачи Штурма - Лиувилля.
20. Функции Эрмита.
21. Весовые пространства. Примеры.
22. Классические ортогональные многочлены Чебышева и Эрмита.
23. Положительно определенные операторы. Энергетическое пространство.
24. Теорема о минимуме квадратичного функционала. Обобщенные решения.
25. Метод ортогональных рядов.
26. Метод Галеркина.
27. Метод Ритца.
28. Обобщения метода Галеркина: метод Петрова - Галеркина, метод наименьших квадратов.
29. Метод конечных элементов.
30. Вейвлеты Хаара.
31. Аксиоматическое определение вейвлетов. Вейвлеты Добеши.
32. Преобразование Фурье. Определение и свойства.
33. Преобразование Фурье функций Эрмита. Теорема Планшереля.
34. Теорема Найквиста - Котельникова.